Franc-Comtois natif de Belfort, Maxence Prévot a été formé au club qu'il a rejoint en 2004 à l'âge de 7 ans. Le gardien effectue ses débuts en CFA en septembre 2014 tandis qu’il a pour la première fois figuré sur la feuille de match d’une rencontre officielle avec les professionnels quelques mois plus tard, en Coupe de France face au RC Strasbourg.
Vainqueur de la Coupe Gambardella en mai 2015, Maxence Prévot signe son premier contrat professionnel en décembre 2015. Il effectue ses débuts en équipe première en 2015/2016 face au Paris FC. Devenu international Espoirs français et capitaine sochalien depuis l'été 2018, il s’est imposé comme titulaire. Initialement lié au FC Sochaux-Montbéliard jusqu'en juin 2020, le gardien a prolongé de trois saisons.
Maxence Prévot, qui a dépassé la barrière des 150 matches de championnat avec son club formateur en août 2021, sort d'une saison 2021/2022 remarquée au cours de laquelle, malgré une blessure, il a disputé 27 matches pour 12 clean sheets.
Il a prolongé en février 2023 son contrat jusqu’en juin 2025 en faveur du Club avant d'entrer le 6 mars dans le cercle fermé des joueurs ayant atteint les 200 matches en championnat avec le FC Sochaux-Montbéliard.